Question

已知函數y=f(x)的定義域為R，并且滿足f(2+x)=f(2-x).

(1)證明函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱；

(2)若f(x)又是偶函數，且x∈［0，2］時，f(x)=2x-1,求x∈［-4，0］時的f(x)的表達式.

Answer 1

（1）證明：設P(x₀,y₀)是函數y=f(x)的圖象上任意一點，則y₀=f(x₀).

點P關于直線x=2的對稱點P′的坐標應為(4-x₀,y₀).

∵f(4-x₀)=f［2+（2-x₀）］=f［2-(2-x₀)］=f(x₀)=y₀.

∴點P′也在函數y=f(x)的圖象上.

∴函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱.

（2）解析：由f(x)=2x-1,x∈［0，2］及f(x)為偶函數，得f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈［-2，0］；

當x∈［2，4］時，由f(x)圖象關于x=2對稱,用4-x代入f(x)=2x-1,

得f(4-x)=f(x)=2(4-x)-1=-2x+7,x∈［2，4］,再由f(x)為偶函數，

得f(x)=2x+7,x∈［-4，-2］.

故f(x)=