Question

某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如如圖所示．（例如：A→C→D算作兩個路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為

1

10

，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為

1

15

）．
（1）請你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小；
（2）若記路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)為隨機變量X，求X的概率分布．

Answer 1

分析：（1）因為各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁可以做出，路線A→C→F→B中遇到堵車的概率，路線A→E→F→B中遇到堵車的概率，進行比較得到結(jié)果．
（2）由題意知路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)X可取值為0，1，2，3．結(jié)合變量對應(yīng)的事件，寫出變量的分布列和期望．

解答：解：（1）記路段MN發(fā)生堵車事件為MN，MN∈{AC，CD，BD，BF，CF，AE，EF}．
因為各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁為
1-P（

.

AC

•

.

CD

•

.

DB

）
=1-P（

.

AC

）P（

.

CD

）P（

.

DB

）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]
=1-

9

10

×

14

15

×

5

6

=

3

10

；
同理，路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P₂為
1-P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

239

800

（小于

3

10

）；
路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P₃為
1-P（

.

AE

•

.

EF

•

.

FB

）=

91

300

（大于

3

10

）．
顯然要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇．
因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小．
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)X可取值為0，1，2，3．
P（X=0）=P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

561

800

，
P（X=1）=P（AC•

.

CF

•

.

FB

）+P（

.

AC

•CF•

.

FB

）+P（

.

AC

•

.

CF

•FB）
=

1

10

×

17

10

×

11

12

+

9

10

×

3

20

×

11

12

+

9

10

×

17

20

×

1

12

=

637

2400

，
P（X=2）=P（AC•CF•

.

FB

）+P（AC

.

CF

•FB）+P（

.

AC

•CF•FB）
=

1

10

×

3

20

×

11

12

+

1

10

×

17

20

×

1

12

+

9

10

×

3

20

×

1

12

=

77

2400

，
P（X=3）=P（AC•CF•FB）=

1

10

×

3

20

×

1

12

=

3

2400

．
∴X的概率分布為

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望問題，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難．