Question

已知橢圓:的離心率為,過右焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點,為弦的中點,為坐標原點.

(1)求直線的斜率；

(2)求證:對于橢圓上的任意一點,都存在,使得成立.

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2) 顯然與可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對于這一平面內的向量,有且只有一對實數,使得等式成立.,那么設出點M的坐標，結合向量的坐標關系來證明。

【解析】

試題分析：解:(1)設橢圓的焦距為,因為,所以有,故有.

從而橢圓的方程可化為: 

①  知右焦點的坐標為(),據題意有所在的直線方程為:. ②由①,②有:.                                        

③設,弦的中點,由③及韋達定理有:

 

所以,即為所求.                       5分

(2)顯然與可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對于這一平面內的向量,有且只有一對實數,使得等式成立.設,由(1)中各點的坐標有:

,故.   7分

又因為點在橢圓上,所以有整理可得:

.       ④

由③有:.所以

   ⑤又點在橢圓上,故有 .      

⑥將⑤,⑥代入④可得:.                 11分

所以,對于橢圓上的每一個點,總存在一對實數,使等式成立,且.

所以存在,使得.也就是:對于橢圓上任意一點 ,總存在,使得等式成立.         13分

考點：橢圓的方程和性質，以及向量的加減法

點評：解決的關鍵是根據橢圓的性質以及直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。