Question

已知

m

=（sinωx+cosωx，2sinωx），

n

=（cosωx-sinωx，

3

cosωx），（ω＞0），若f（x）=

m

•

n

且f(

π

3

-x)=f(x)，f（x）在（0，

π

3

）內有最大值無最小值．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，f（A）=1，其面積S△ABC=

3

，求△ABC周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）化簡f（x）=

m

•

n

的解析式為2sin（2ωx+

π

6

），根據 f(

π

3

-x)=f(x)，求出ω=1，可得周期T的值．
（2）根據f（A）=1，求得A=

π

3

，再由S_△ABC=

1

2

bc•sinA=

3

，求得 bc 的值，再利用基本不等式求出△ABC周長的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=

m

•

n

=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+2sinωx•

3

cosωx=cos2ωx+

3

 sin2ωx=2sin（2ωx+

π

6

）．
∵f(

π

3

-x)=f(x)，∴2ω•

π

6

+

π

6

=2kπ+

π

2

，從而ω=6k+1，k∈z．
又

π

3

-

π

6

≤

π

2ω

，∴ω≤3，因此 k=0，ω=1，∴T=

2π

ω

=π．
（2）∵f（A）=1，∴2sin（2A+

π

6

）=1，∴A=

π

3

，S_△ABC=

1

2

bc•sinA=

3

，∴bc=4，
∴△ABC周長為 b+c+a=b+c+

b2+c2 -2bc•cosA

≥2

bc

+

2bc -2bc•cosA

=6，當且僅當b=c時等號成立．
故△ABC周長的最小值為6．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，正弦定理和基本不等式的應用，三角函數的周期性以及求法，屬于中檔題．