Question

已知向量a、b、c、d及實數x、y，且|a|＝|b|＝1，c＝a＋(x²－3)b，d＝－ya＋xb，若a⊥b，c⊥d，且|c|≤．

(1)求y關于x的函數關系y＝f(x)及定義域；

(2)求函數f(x)的單調區間．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵a⊥b，∴a·b＝0．c＝a＋(x2－3)b， 　　∴|c|2＝c·c＝|a|2＋2(x2－3)a·b＋(x2－3)2|b|2 　　＝x4－6x2＋10． 　　∵|c|2≤10，∴x4－6x2＋10≤10． 　　∴≤x≤．又∵c⊥d，∴c·d＝0． 　　∴c·d＝－y|a|2＋(－x2y＋x＋3y)a·b＋x(x2－3)|b|2＝0， 　　∴－y＋x3－3x＝0，∴y＝f(x)＝x3－3x，其定義域為[，]． 　　對(2)問，若作出函數y＝x3－3x的圖象來確定其單調區間，既復雜又易錯．本節就學習一種求函數單調性的簡便方法．