Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，P在平面ABCD上的射影為G，且G在AD上，且AG=

1

3

GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，四面體P-BCG的體積為

8

3

．
（Ⅰ）求異面直線GE與PC所成的角余弦值；
（Ⅱ）求點D到平面PBG的距離；
（Ⅲ）若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求

PF

FC

的值．

Answer 1

分析：（1）先利用等體積法求出PG的長，在平面ABCD內，過C點作CH∥EG交AD于H，連接PH，則∠PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角，在△PCH中利用余弦定理求出此角即可；
（2）在平面ABCD內，過D作DK⊥BG，交BG延長線于K，則DK⊥平面PBG，DK的長就是點D到平面PBG的距離，在△DKG利用邊角關系求出DK長；
（3）在平面ABCD內，過D作DM⊥GC，M為垂足，連接MF，先證明FM∥PG，然后利用三角形相似對應邊成比例建立等量關系即可．

解答：解：（I）由已知VP-BGC=

1

3

S△BCG•PG=

1

3

•

1

2

BG•GC•PG=

8

3

，
∴PG=4．
在平面ABCD內，過C點作CH∥EG交AD于H，連接PH，則∠PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角．
在△PCH中，CH=

2

，PC=

20

，PH=

18

，
由余弦定理得，cos∠PCH=

10

10

，
∴異面直線GE與PC所成的角的余弦值為

10

10

．

（II）∵PG⊥平面ABCD，PG?平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD，
在平面ABCD內，過D作DK⊥BG，交BG延長線于K，則DK⊥平面PBG∴DK的長就是點D到平面PBG的距離．
∵BC=2

2

∴GD=

3

4

AD=

3

4

BC=

3

2

2

．
在△DKG，DK=DGsin45°=

3

2

，∴點D到平面PBG的距離為

3

2

．

（III）在平面ABCD內，過D作DM⊥GC，M為垂足，連接MF，
又因為DF⊥GC，
∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM．
由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM∥PG；
由GM⊥MD得：GM=GD•cos45°=

3

2

．
∵

PF

FC

=

GM

MC

=

3 2

1 2

=3，∴由DF⊥GC可得

PF

FC

=3，
∴

3

3

x=

d

3

x2+3

，解得d=

3 x

3+x2

∈（0，

3

）．

點評：本題主要考查四棱錐的有關知識，以及求異面直線所成角的問題，以及分析問題與解決問題的能力．簡單幾何體是立體幾何解答題的主要載體，特別是棱柱和棱錐．