Question

（本小題滿分16分）

在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m>0,。

（1）設動點P滿足,求點P的軌跡；

（2）設，求點T的坐標；

（3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。

Answer 1

[解析] 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎知識。考查運算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。

（1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

由，得 化簡得。

故所求點P的軌跡為直線。

（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）

直線MTA方程為：，即，

直線NTB 方程為：，即。

聯立方程組，解得：，

所以點T的坐標為。

（3）點T的坐標為

直線MTA方程為：，即，

直線NTB 方程為：，即。

分別與橢圓聯立方程組，同時考慮到，

解得：、。

（方法一）當時，直線MN方程為：

 令，解得：。此時必過點D（1，0）；

當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。

所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。

（方法二）若，則由及，得，

此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。

若，則，直線MD的斜率，

直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。

因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。