Question

（本小題滿分14分）

    若圓C過點M（0，1）且與直線相切，設圓心C的軌跡為曲線E，A、B為曲線E上的兩點，點

   （I）求曲線E的方程；

   （II）若t=6，直線AB的斜率為，過A、B兩點的圓N與拋物線在點A處共同的切線，求圓N的方程；

   （III）分別過A、B作曲線E的切線，兩條切線交于點Q，若點Q恰好在直線上，

求證：t與均為定值。

Answer 1

【解】（Ⅰ）依題意,點到定點的距離等于到定直線的距離，所以點的軌跡為拋物線，曲線的方程為.……………………………………………………3分

（Ⅱ）直線的方程是,即.

由及知，得和……5分

由得,.

 所以拋物線在點處切線的斜率為.

     直線的方程為,即.①

     線段的中點坐標為,中垂線方程為,即.②

     由①、②解得.…………………………………………………………7分

     于是,圓的方程為,

即  . ………………………………………………………8分

（Ⅲ）設,,.過點的切線方程為,

即.同理可得,所以,.…10分

又=,所以直線的方程為,即,亦即,所以.………………………………………11分

而,,

所以

.…………………………………13分