Question

在平面直角坐標系中，對其中任何一向量X=（x₁，x₂），定義范數||X||，它滿足以下性質：（1）||X||≥0，當且僅當X為零向量時，不等式取等號；（2）對任意的實數λ，||λX||=|λ|•||X||（注：此處點乘號為普通的乘號）；（3）||X||+||Y||≥||X+Y||．應用類比的方法，我們可以給出空間直角坐標系下范數的定義，現有空間向量X=（x₁，x₂，x₃），下面給出的幾個表達式中，可能表示向量X的范數的是

 

（把所有正確答案的序號都填上）
（1）

x12

+2x₂²+x₃²（2）

2x2-x22+x32

 （3）

x12+x22+x32+2

  （4）

x12+x22+x32

．

Answer 1

分析：根據已知中關于向量范數的定義，及所滿足的性質：（1）||X||≥0，當且僅當X為零向量時，不等式取等號；（2）對任意的實數λ，||λX||=|λ|•||X||（注：此處點乘號為普通的乘號）；（3）||X||+||Y||≥||X+Y||．我們逐一分析題目中所給的4個表達式，判斷是否同時滿足所有性質，即可得到答案．

解答：解：（1）

x12

+2x₂²+x₃²滿足||X||≥0，當且僅當X為零向量時，不等式取等號；
但不滿足對任意的實數λ，||λX||=|λ|•||X||，故（1）不正確；
（2）

2x2-x22+x32

 滿足||X||≥0，當且僅當X為零向量時，不等式取等號；
不滿足對任意的實數λ，||λX||=|λ|•||X||，故（2）不正確；
（3）

x12+x22+x32+2

 不滿足||X||≥0，當且僅當X為零向量時，不等式取等號；
故（3）不正確；
（4）

x12+x22+x32

，滿足||X||≥0，當且僅當X為零向量時，不等式取等號；
同時滿足，對任意的實數λ，||λX||=|λ|•||X||，
即（4）同時滿足向量X的范數的三個條件
故答案為：（4）．

點評：本題考查的知識點是演繹推理，判斷一個式子是否是表達向量X的范數，關鍵是要根據向量X的范數的定義中所滿足的性質逐一進行檢驗．