Question

設函數f(x)＝a^x＋b^x－c^x，其中c>a>0，c>b>0.
(1)記集合M＝{(a，b，c)|a、b、c不能構成一個三角形的三條邊長，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對應的f(x)的零點的取值集合為________．
(2)若a、b、c是△ABC的三條邊長，則下列結論正確的是________．(填序號)
①?x∈(－∞，1)，f(x)>0；
②?x∈R，使a^x、b^x、c^x不能構成一個三角形的三條邊長；
③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈(1，2)，使f(x)＝0.

Answer 1

(1){x|0<x≤1} (2)①②③

(1)因為c>a>0，c>b>0，a＝b且a、b、c不能構成一個三角形的三條邊長，
所以0<2a≤c，所以≥2.
令f(x)＝0，得2a^x＝c^x，即＝2，即x＝2，＝log₂≥1，所以0<x≤1.
(2)由a、b、c是△ABC的三條邊長，知a＋b>c，
因為c>a>0，c>b>0，所以0<<1，0<<1，
當x∈(－∞，1)時，f(x)＝a^x＋b^x－c^x＝c^x>c^x＝c^x·>0，①正確；
令a＝2，b＝3，c＝4，則a、b、c可以構成三角形，而a²＝4，b²＝9，c²＝16不能構成三角形，②正確；
由c>a，c>b，且△ABC為鈍角三角形，則a²＋b²－c²<0.因為f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a²＋b²－c²<0，所以f(x)在(1，2)上存在零點，③正確