Question

已知圓C:x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線l,使以l被圓C所截得的弦AB為直徑的圓經過原點？若存在,寫出直線的方程;若不存在,請說明理由.

Answer 1

思路分析:設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),再設出直線的方程后將其與圓的方程聯立.則所得方程組的解就是A和B的坐標值.但不必解出A和B坐標的具體的表達式,而要將目標放在利用根與系數關系表示出題目所給條件上.其中以AB為直徑的圓可表示為(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0.

解:假設直線存在,設l的方程為y=x+m,

由

得2x²+2(m+1)x+m²+4m-4=0.(*)

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則x₁+y₂=-(m+1),x₁x₂=.

∵以AB為直徑的圓(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0,

若它經過原點,則x₁x₂+y₁y₂=0.

又y₁·y₂=(x₁+m)(x₂+m)=x₁x₂+m(x₁+x₂)+m².

∴2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=0,

∴m²+3m-4=0,m=-4或m=1.

∵當m=-4或m=1時,可驗證(*)式的Δ＞0,

∴所求直線l的方程是x-y-4=0或x-y+1=0.