Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F₁，F₂．
（1）若橢圓C上的點A（1，

3

2

）到F₁，F₂的距離之和為4，求橢圓C的方程和焦點的坐標；
（2）若M，N是C上關于（0，0）對稱的兩點，P是C上任意一點，直線PM，PN的斜率都存在，記為k_PM，k_PN，求證：k_PM與k_PN之積為定值．

Answer 1

分析：（1）先根據點A到F₁、F₂兩點的距離之和求得a，進而把A點代入橢圓方程求得b，則c可得，進而可求得橢圓的方程和焦點坐標．
（2）設點M的坐標為（m，n），根據點的對稱性可求得N的坐標，代入橢圓方程設出點P的坐標，則利用斜率公式可分別表示出PM和PN的斜率，求得二者乘積的表達式，把y²=3-

3

4

x²，n²=3-

3

4

m²代入結果為常數，原式得證．

解答：解：（1）橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2．又點A（1，

3

2

））在橢圓上，因此

1

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1得b²=3，于是c²=1．所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，焦點F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（2）設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），其中

m2

4

+

n2

3

=1．
又設點P的坐標為（x，y），由k_PM=

y-n

x-m

，k_PN=

y+n

x+m

得k_PM•k_PN=

y+n

x+m

•

y-n

x-m

=

y2-n2

x2-m2

將y²=3-

3

4

x²，n²=3-

3

4

m²代入得k_PM•k_PN=-

3

4

故k_PM與k_PN之積為定值．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，直線的斜率，橢圓的性質，考查了學生分析推理和基本的運算能力．