Question

在平面直角坐標系中，已知直線l過點A（2，0），傾斜角為

π

2

．
（1）寫出直線l的參數方程；
（2）若有一極坐標系分別以直角坐標系的原點和x軸非負半軸為原點和極軸，并且兩坐標系的單位長度相等，在極坐標系中有曲線C：ρ²cos2θ=1，求直線l截曲線C所得的弦BC的長度．

Answer 1

分析：（1）過點（a，b）傾斜角為θ的直線的參數方程為

x=a+tcosθ y=b+tsinθ

（t為參數），依此即可得過點A（2，0），傾斜角為

π

2

的直線l的參數方程；
（2）先將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，方法1可利用直線參數方程中參數t的幾何意義求弦BC的長度，方法2可將直線的參數方程化為普通方程，與曲線C聯立求弦BC的長度

解答：解：（1）直線l的參數方程可以寫作

x=2+tcos π 2 y=tsin π 2

，即

x=2 y=t

（2）方法1：把曲線C的方程化為直角坐標方程，可得ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，即x²-y²=1
把

x=2 y=t

代入上式得2²-t²=1∴t1=

3

，t2=-

3

故|BC|=|t1-t2|=|

3

-(-

3

)|=2

3

方法2：把曲線C的方程化為直角坐標方程，可得ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，即x²-y²=1
依題意得直線l的直角坐標方程為x=2
由

x=2 x2-y2=1

可求得兩個交點的坐標為B(2，

3

)，C(2，-

3

)
故|BC|=2

3

點評：本題考察了直線的參數方程及其意義和運用，曲線的極坐標方程，參數方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化