Question

（2011•溫州二模）已知不共線的兩個向量

OA

，

OB

，|

OA

|=|

OB

|=3，若

OC

=λ

OA

+(1-λ)

OB

（0＜λ＜1），且|

OC

|=

3

，則|

AB

|的最小值為

2

6

．

Answer 1

分析：通過

AB

=

OB

-

OA

，求出|

AB

|²，|

AB

|最小時

OA

•

OB

最大．利用3=|

OC

|²，通過基本不等式求出

OA

•

OB

的最大值，然后求出|AB|的最小值是2

6

．

解答：解：

AB

=

OB

-

OA

，
|

AB

|²=（

OB

-

OA

）•（

OB

-

OA

）
=|

OB

|²+|

OA

|²-2（

OA

•

OB

）
=18-2（

OA

•

OB

），
|

AB

|最小時

OA

•

OB

最大．
3=|

OC

|²=[λ

OA

+（1-λ）

OB

]•[λ

OA

+（1-λ）

OB

]
=9λ²+9（1-λ）²+2λ（1-λ）（

OA

•

OB

），
所以

OA

•

OB

=

9λ2-9λ +3

λ2-λ

=9+

3

λ2-λ

=9+

3

λ(λ-1)

；
因為λ（1-λ）≤(

λ+1-λ

2

)2=

1

4

，所以λ（1-λ）的最大值是

1

4

，
所以

OA

•

OB

≤9-

3

1 4

=-3．
所以

OA

•

OB

的最大值是-3，
|

AB

|²=18-2（

OA

•

OB

）≥18+6=24，
所以|AB|的最小值是2

6

．
故答案為：2

6

．

點評：本題考查向量的基本運算，向量模的求法，基本不等式的應用，考查計算能力．