Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多作，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將選題號填入括號中．
（1）選修4一2：矩陣與變換
設矩陣M所對應的變換是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸縮變換．
（Ⅰ）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣M^-1以及橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．
（2）選修4一4：坐標系與參數方程
已知直線C1：

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數），C2：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數）．
（Ⅰ）當α=

π

3

時，求C₁與C₂的交點坐標；
（Ⅱ）過坐標原點O做C₁的垂線，垂足為A，P為OA中點，當α變化時，求P點的軌跡的參數方程．
（3）選修4一5：不等式選講
已知a，b，c均為正實數，且a+b+c=1．求

4a+1

+

4b+1

+

4c+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）先求出矩陣M，然后利用特征多項式建立方程求出它的特征值，最后分別求出特征值所對應的特征向量；
（Ⅱ）先求出矩陣M的逆矩陣，然后利用點在矩陣M^-1的作用下的點的坐標，化簡代入橢圓方程求出新的曲線方程．
（2）（Ⅰ）先寫出C₁的普通方程和C₂的普通方程為x²+y²=1．聯立方程組即可解得C₁與C₂的交點；
（Ⅱ）C₁的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0．A點坐標為（sin²α，-cosαsinα），從而得出當α變化時，P點軌跡的參數方程即可．
（3）根據柯西不等式(1•

4a+1

+1•

4b+1

+1•

4c+1

)≤(12+12+12)•（4a+1+4b+1+4c+1）直接求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由條件得矩陣M=

2 0 0 3

，
它的特征值為2和3，對應的特征向量為

1 0

及

0 1

；（4分）
（Ⅱ）M-1=

1 2 0 0 1 3

，橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程為x²+y²=1．（7分）
（2）（Ⅰ）當α=

π

3

時，C₁的普通方程為y=

3

(x-1)，
C₂的普通方程為x²+y²=1．聯立方程組

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，
解得C₁與C₂的交點為（1，0），(

1

2

，-

3

2

)．（4分）
（Ⅱ）C₁的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0．A點坐標為（sin²α，-cosαsinα），
故當α變化時，P點軌跡的參數方程為：

x= 1 2 sin2α y=- 1 2 sinαcosα

（α為參數）（7分）
（3）由柯西不等式得
(1•

4a+1

+1•

4b+1

+1•

4c+1

)≤(12+12+12)•（4a+1+4b+1+4c+1）
=3[4（a+b+c）+3]=2（15分）
當且僅當a=b=c=

1

3

時等號成立
故

4a+1

+

4b+1

+

4c+1

的最大值為

21

．（7分）

點評：本題主要考查來了逆變換與逆矩陣，以及圓的參數方程和直線的參數方程，以及不等式的證明等基礎知識，是一道綜合題，屬于中檔題．