Question

【題目】已知函數f(x)的導函數滿足對恒成立．

(1)判斷函數在上的單調性，并說明理由；

(2)若在上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增；（2）．

【解析】

（1）求出函數的導數，根據函數的單調性求出函數的單調性即可；

（2）求出函數的導數，通過討論m的范圍求出函數的單調區間，求出函數的最小值，確定m的范圍即可．

(1)由，得．

，

則 ，

故在(1，+∞)上單調遞增．

(2)∵，∴，

即．

設函數，

，

∵x>1，∴1+lnx>0，為增函數，

則．

當2e+m≥0，即m≥-2e時，，則h(x)在(1，+∞)上單調遞增，

從而h(x)>h(1)＝0．

當2e+m<0，即m<-2e時，則，

若1<x<x0，；若x>x0，．

從而，這與h(x)>0對恒成立矛盾，故m<-2e不合題意．

綜上，m的取值范圍為[-2e，+∞)．

評分細則：

第(1)問中，函數g(x)的導數計算正確給1分；

第(2)問中，整理得到得1分；必須因式分解得到才能給1分．