Question

已知點A（λcosα，λsinα）（λ≠0），B(

1

2

，-

3

2

)，O為坐標原點，
（1）若α=

π

6

時，不等式|

AB

|≥2|

OB

|有解，求實數λ的取值范圍；
（2）若|

AB

|≥2|

OB

|對任意實數α恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于本題中已知點A（λcosα，λsinα）（λ≠0），B(

1

2

，-

3

2

)，O為坐標原點，不等式|

AB

|≥2|

OB

|有解即存在這樣的參數使得不等式成立，這是一個存在性問題，故通過向量的模的表達公式轉化為關于參數λ的不等式有解的問題，解出它的取值范圍；
（2）相比（1）本小題是一個恒成立問題，可將不等式進行化簡，利用三角函數的有界性轉化為關于參數λ的不等式；

解答：解：（1）|

AB

|≥2|

OB

|有解，即(λcosα-

1

2

)2+(λsinα+

3

2

)2≥4（2分）
等價于：λ2+1+2λsin(α-

π

6

)≥4，代入α=

π

6

得：λ²≥3（4分）
即    λ∈(-∞，-

3

]∪[

3

，+∞)（6分）
（2）|

AB

|≥2|

OB

|對任意的實數α恒成立，即(λcosα-

1

2

)2+(λsinα+

3

2

)2≥4對任意的實數α恒成立，即λ2+1+2λsin(α-

π

6

)≥4對任意的實數α恒成立     （8分）
所以

λ＞0 λ2-2λ+1≥4

或

λ＜0 λ2+2λ+1≥4

（12分）
解得：λ≥3或λ≤-3．故所求實數λ的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）．（14分）

點評：本題是一個向量綜合題，本題考查了存在性問題與恒成立問題，解此類題關鍵是對存在問題與恒成立問題進行轉化，理解這類問題的邏輯關系是正確轉化的關鍵，此類題是高中數學的難點，也是容易互相混淆的題，熟練掌握向量模的坐標表示公式是本題轉化的知識保證，本題比較抽象，考查了推理判斷能力以及計算能力，轉化化歸的思想，思維有深度，是高中數學中較易出錯的難題