Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足, 且,
其中．
（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,令,其中,試比較與的大小,并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5c/9/nql0x.gif" style="vertical-align:middle;" />,即
又,所以有,所以
所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.     …………………………………………3分
由得, 解得.
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.  ……………………………………….6分
（II）因，所以
即數(shù)列是首項(xiàng)為,公比是的等比數(shù)列.
所以，……………………………………….……………………………………7分
則
又 .   ……………………………………8分

法一：數(shù)學(xué)歸納法
猜想
①當(dāng)時(shí)，,上面不等式顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立
當(dāng)時(shí)，.
綜上①②對(duì)任意的均有……………………………………….10分
法二：二項(xiàng)式定理：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c3/a/5ll682.gif" style="vertical-align:middle;" />,
所以
.
即對(duì)任意的均有.   ……………………………………..10分
又,  

所以對(duì)任意的均有.   ………………………….12分

解析