Question

如圖所示，雙曲線的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)、E分別是其左、右焦點(diǎn)，若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P，滿足以雙曲線的虛半軸長為直徑的圓與線段PF相切于其中點(diǎn)C，則該雙曲線的離心率為

5

．

Answer 1

分析：根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形中位線定理，證出△PEF中，PF⊥PE且|PE|=2b，用勾股定理算出|PF|=2a，結(jié)合雙曲線的定義算出b=2a，c=

5

a．由此即可得出該雙曲線的離心率．

解答：解：∵⊙O切直線PF于點(diǎn)C，∴0C⊥PF
∵0C是△PEF的中位線，得PE∥0C且|PE|=2|0C|
∴△PEF是以EF為斜邊的直角三角形，|PE|=2b
由此可得：|PF|=

EF2-PE2

=

4c2-4b2

=2a
根據(jù)雙曲線定義，得|PF|-|PE|=2a
∴2a-2b=2a，可得b=2a，c=

a2+b2

=

5

a
該雙曲線的離心率為e=

c

a

=

5

故答案為：

5

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的一條焦半徑與以虛軸為直徑的圓相切于中點(diǎn)，求該雙曲線的離心率．著重考查了直線與圓相切的性質(zhì)、雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．