Question

設向量

m

=(cosx，sinx)，x∈（0，π），

n

=(1， 

3

)．
（1）若|

m

-

n

|=

5

，求x的值；
（2）設f(x)=(

m

+

n

)•

n

，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）通過|

m

-

n

|=

5

建立關于x的方程，即可求得x的值．（
2）利用向量的數量積的坐標運算與兩角和的正弦公式，得f（x）得解析式，然后結合x∈（0，π）的函數的值域．

解答：解：（1）∵

m

-

n

=(cosx-1， sinx-

3

)
由|

m

-

n

|=

5

得cos2x-2cosx+1+sin2x-2

3

sinx+3=5
整理得cosx=-

3

sinx
顯然cosx≠0∴tanx=-

3

3

∵x∈（0，π），∴x=

5π

6

（2）∵

m

+

n

=(cosx+1， sinx+

3

)，
∴f(x)=(

m

+

n

)•

n

=(cosx+1， sinx+

3

)•(1，

3

)=cosx+1+

3

sinx+3
=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)+4=2sin(x+

π

6

)+4
∵0＜x＜π∴

π

6

＜x+

π

6

＜

7π

6

∴-

1

2

＜sin(x+

π

6

)≤1?-1＜2sin(x+

π

6

)≤2
∴3＜2sin(x+

π

6

)+4≤6
即函數f（x）的值域為（3，6]．

點評：本題考查了正弦函數的定義域和值域，以及平面向量數量積的坐標運算，是個典型的向量與三角結合的問題，是個中檔題．