Question

已知函數(shù)f(x)=x+mlnx+

2

x

(m∈R)．
（I）當(dāng)m=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處的切線與直線y=-

1

2

x平行，求m的值．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)m=1時，確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程，即可求m的值．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}
當(dāng)m=1時，f(x)=x+lnx+

2

x

，f′(x)=

(x-1)(x+2)

x2

令f′(x)=

(x-1)(x+2)

x2

＞0可得x＜-2或x＞1；令f′(x)=

(x-1)(x+2)

x2

＜0，可得-2＜x＜1
∵x＞0，∴，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；
（Ⅱ）f′(x)=1+

m

x

-

2

x2

∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處的切線與直線y=-

1

2

x平行，
∴f′(2)=1+

m

2

-

1

2

=-

1

2

∴m=-2．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．