Question

如圖，過拋物線y²=2px（p＞0）的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB．
（1）設OA的斜率為k，試用k表示點A、B的坐標；
（2）求弦AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設直線OA的方程為y=kx（k≠0），與拋物線y²=2px（p＞0）聯立即可解出用k表示的A點的坐標，再由條互相垂直的弦OA、OB這一關系，兩直線過同一點原點，斜率互為負倒數的關系得出B的坐標．
（2）由（1），M是AB的中點，故可由中點坐標公式得到點M的以k為參數的參數方程，水運參數k，即可得到所求的點M的軌跡的決不能方程．

解答：解：（1）∵依題意可知直線OA的斜率存在且不為0
∴設直線OA的方程為y=kx（k≠0）
∴聯立方程

y=kx y2=2px

解得xA=

2p

k2

，yA=

2p

k

（4分）
以-

1

k

代上式中的k，解方程組

y=- 1 k x y2=2px

，解得x_B=2pk²，y_B=-2pk
∴A（

2p

k2

，

2p

k

），B（2pk²，-2pk）（8分）
（2）設AB中點M（x，y），則由中點坐標公式，得

x=p( 1 k2 +k2) y=p( 1 k -k)

（10分）
消去參數k，得y²=px-2p²；即為M點軌跡的普通方程．（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關鍵是掌握直線與圓錐曲線位置關系中的相關的知識，其中在第一小問中要注意根據兩直線垂直且過同一點這一關系，求得點B的坐標，此一技巧大大簡化了計算，注意總結這一經驗且能在類似的題題中進行推廣，其特征是過同一點，且兩直線的斜率之間有一個固定的數量關系，本題第二小問所得到的方程是參數方程，由參數方程轉化為普通方程常用的方法是代入法，加減消元等，做題時要注意選擇合適的方法消去參數．直線與圓錐曲線這一類問題中正確轉化，充分利用等量關系是解題的重中之重．本本類型中的題轉化靈活，運算量大，且比較抽象，易出錯，做題時要嚴謹認真．