Question

設橢圓C與雙曲線D有共同的焦點F₁（-4，0），F₂（4，0），并且橢圓的長軸長是雙曲線實軸的長的2倍，試求橢圓C與雙曲線D交點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：設雙曲線實半軸長a，則橢圓半長軸的長2a，由由雙曲線、橢圓的定義求出|PF₁|與|PF₂|的關系，從而建立軌跡方程，并化簡．
解答：解：∵橢圓C與雙曲線D有共同的焦點F₁（-4，0），F₂（4，0），橢圓的長軸長是雙曲線實軸的長的2倍，
設雙曲線實半軸長a，a＞0，則橢圓半長軸的長2a，橢圓C與雙曲線D交點為點P，
則由雙曲線、橢圓的定義得；|PF₁|-|PF₂|=±2a，|PF₁|+|PF₂|=4a．
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，或|PF₁|=a，|PF₂|=3a，
∴=3，或 =，即：=3 或，
∴所求的軌跡方程是：（x-5）²+y²=9，或（x+5）²+y²=9．
點評：本題考查雙曲線、橢圓的定義，軌跡方程的求法，屬于中檔題．