Question

設函數f（x）=x³+3x²+6x+4，a，b都是實數，且f（a）=14，f（b）=-14，則a+b的值為（　　）

A．2

B．1

C．0

D．-2

Answer 1

分析：根據f（x）=x³+3x²+6x+4可將f（x）變形為f（x）=（x+1）³+3（x+1）然后根據f（a）+f（b）=0可得（a+1）²+3（a+1）+（b+1）²+3（b+1）=0注意到此方程的對稱性可構造函數F（x）=x³+3x則上式可變形為F（a+1）=-F（b+1）故需判斷出函數F（x）的奇偶性和單調性即可求解．

解答：解答：解：∵f（x）=x³+3x²+6x+4
∴f（x）=（x+1）³+3（x+1）
∵f（a）+f（b）=0
∴（a+1）²+3（a+1）+（b+1）²+3（b+1）=0①
令F（x）=x³+3x，
則F（-x）=-F（x）
∴F（x）為奇函數
∴①式可變為F（a+1）=-F（b+1）
即F（a+1）=F（-b-1）
∵F（x）=x³+3x為單調遞增函數
∴a+1=-b-1
∴a+b=-2
故選D

點評：本題主要考查利用函數的單調性和奇偶性進行求值．解題的關鍵是先將函數f（x）=x³+3x²+6x+4變形為f（x）=（x+1）³+3（x+1）（這也是求解此題的突破點）然后利用所得到的式子①構造函數F（x）=x³+3x最后利用函數F（x）的單調性奇偶性即可求解！