Question

若兩集合A=[0，3]，B=[0，3]，分別從集合A、B中各任取一個元素m、n，即滿足m∈A，n∈B，記為（m，n），
（Ⅰ）若m∈Z，n∈Z，寫出所有的（m，n）的取值情況，并求事件“方程

x2

m+1

+

y2

n+1

=1所對應的曲線表示焦點在x軸上的橢圓”的概率；
（Ⅱ）求事件“方程

x2

m+1

+

y2

n+1

=1所對應的曲線表示焦點在x軸上的橢圓，且長軸長大于短軸長的

2

倍”的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用枚舉法列出基本事件總數，求出滿足m＞n的事件個數，然后代入古典概型概率計算公式求解；
（Ⅱ）事件“方程

x2

m+1

+

y2

n+1

=1所對應的曲線表示焦點在x軸上的橢圓，是指m＞n，再由長軸長大于短軸長的

2

倍得到m和n的不等式，由線性規劃知識作出可行域，則由測度比是面積比得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題知所有的（m，n）的取值情況為：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），
（3，2），（3，3）共16種，
若方程

x2

m+1

+

y2

n+1

=1所對應的曲線表示焦點在x軸上的橢圓，則m+1＞n+1，即m＞n，
對應的（m，n）的取值情況為：（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6種，
∴該事件概率為：P=

6

16

=

3

8

；
（Ⅱ）由題知0≤m≤3，0≤n≤3，橢圓長軸為2

m+1

，短軸為2

n+1

，
由2

m+1

＞

2

•2

n+1

，得m＞2n+1，可行域如圖所示，

∴該事件概率為P=

1 2 ×2×1

3×3

=

1

9

．

點評：本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了幾何概型及其概率計算公式，訓練了利用枚舉法求基本事件的概率，對于幾何概型的概率的求解，關鍵是找到測度比，是基礎題．