Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點，設點的軌跡為曲線。

(1)求曲線的方程；

(2)若，設過點的直線與曲線分別交于點，其中，求證：直線必過軸上的一定點。(其坐標與無關)

Answer 1

【答案】(1) ； (2) 證明見解析

【解析】

（1）由橢圓的定義可直接求出求曲線的方程；（2）先求出直線的方程，再分別與橢圓聯立方程組，求出兩點的坐標并寫出直線的方程

（1）∵在線段的垂直平分線上，∴

∴

由橢圓的定義知點的軌跡是以為焦點，6為長軸長的橢圓

，∴

曲線的方程為：。

（2）點的坐標為

直線方程為：，即，

直線方程為：，即。

分別與橢圓聯立方程組，同時考慮到，

解得：.

當時，直線方程為：

令，解得：。此時必過點；

當時，直線方程為：，與軸交點為。

所以直線必過軸上的一定點。