Question

【題目】如圖，點P（0，﹣1）是橢圓C1： + =1（a＞b＞0）的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2+y2=4的直徑，l1 ， l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l1交圓C2于A、B兩點，l2交橢圓C1于另一點D．

（1）求橢圓C1的方程；
（2）求△ABD面積的最大值時直線l1的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得b=1，2a=4，即a=2．

∴橢圓C1的方程為 ；

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．

由題意可知：直線l1的斜率存在，設為k，則直線l1的方程為y=kx﹣1．

又圓 的圓心O（0，0）到直線l1的距離d= ．

∴|AB|= = ．

又l2⊥l1，故直線l2的方程為x+ky+k=0，聯立 ，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得 ，

∴|PD|= ．

∴三角形ABD的面積S△= = ，

令4+k2=t＞4，則k2=t﹣4，

f（t）= = = ，

∴S△= ，當且僅 ，即 ，當 時取等號，

故所求直線l1的方程為 ．

【解析】（1）由題意可得b=1，2a=4，即可得到橢圓的方程；（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），D（x0 ， y0）．由題意可知：直線l1的斜率存在，設為k，則直線l1的方程為y=kx﹣1．利用點到直線的距離公式和弦長公式即可得出圓心O到直線l1的距離和弦長|AB|，又l2⊥l1 ， 可得直線l2的方程為x+kx+k=0，與橢圓的方程聯立即可得到點D的橫坐標，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面積，利用基本不等式的性質即可得出其最大值，即得到k的值．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．