Question

已知函數，其中a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）的單調性；
（3）當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值恒為負數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數，令log_ax=t，得x=a^t，代入函數解析式即可求得f（x）的解析式；（2）利用函數單調性的定義，在R上任取x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），因式分解，比較其與零的大小，即可求得結果；（3）由（2）知f（x）在R上是增函數，因為當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值恒為負數，所以f（2）-4=（a²-a^-2）-4≤0，
解此不等式即可求得實數a的取值范圍．
解答：解：（1）令log_ax=t，∴x=a^t，代入得f（t）=（a^t-a^-t）
即f（x）=（a^x-a^-x），（a＞0且a≠1）．
（2）當a＞1，＞0，f（x）在R上是增函數，x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（-）-

∴f（x）在R上是增函數，當0＜a＜1時，同理可證：f（x）在R上是增函數
（3）由（2）知f（x）在R上是增函數，
∴當x∈（-∞，2）時，f（x）＜f（2）=（a²-a^-2），
∴f（2）-4=（a²-a^-2）-4≤0，
整理得且a＞0且a≠1．
∴a²-4a+1≤0，解得2-≤a≤2，且a≠1，
即[2-，1）∪（1，2]．
點評：此題屬于中檔題．考查換元法求函數的解析式，以及利用函數單調性的定義判斷函數的單調性，求函數的最值問題，注意換元時注意引進新變量的范圍，利用函數單調性的定義判斷函數單調性時，注意結果的化簡一般是若干因式積商形式或完全平方式和的形式，同時考查了運算能力．