Question

（本小題滿分12分）學數學，其實是要使人聰明，使人的思維更加縝密，在美國廣為流傳的一道數學題目是：老板給你兩個加工資的方案。一是每年年末加一千元；二是每半年結束時加300元。請選擇一種。一般不擅長數學的人很容易選擇前者，因為一年加一千元總比兩個半年共加600元要多。其實，由于工資累計的，時間稍長，往往第二種方案更有利。例如在第二年的年末，依第一種方案可以加得1000+2000=3000元，而第二種方案在第一年加得300+600=900元，第二年加得900+1200=2100元，總數也是900+2100=3000元。但到了第三年，第一種方案可以得到1000+2000+3000=6000元，第二種方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元。第四年，第五年會更多。因此，你若會在公司干三年以上，則應選擇第二種方案。

根據以上材料，解答以下問題：
　　（1）如果在該公司干10年，問選擇第二方案比選擇第一方案多加薪多少元？
　　（2）如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加 元，問 取何值時，選                                 擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪？

Answer 1

(本小題滿分12分)

    學數學，其實是要使人聰明，使人的思維更加縝密，在美國廣為流傳的一道數學題目是：老板給你兩個加工資的方案。一是每年年末加一千元；二是每半年結束時加300元。請選擇一種。一般不擅長數學的人很容易選擇前者，因為一年加一千元總比兩個半年共加600元要多。其實，由于工資累計的，時間稍長，往往第二種方案更有利。例如在第二年的年末，依第一種方案可以加得1000+2000=3000元，而第二種方案在第一年加得300+600=900元，第二年加得900+1200=2100元，總數也是900+2100=3000元。但到了第三年，第一種方案可以得到1000+2000+3000=6000元，第二種方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元。第四年，第五年會更多。  因此，你若會在公司干三年以上，則應選擇第二種方案。

根據以上材料，解答以下問題：
　　（1）如果在該公司干10年，問選擇第二方案比選擇第一方案多加薪多少元？
　　（2）如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加元，問 取何值時，總是選擇第二方案比選擇第一方案多加薪？

解：（1）由題意：第一方案每年的加薪額，第二方案每半年的加薪額都構成等差數列

第10年末，第一方案加薪總額為：1000+2000+3000+…+10000=55000元………………2分

     第二方案加薪總額為：300+300×2+300×3+…+300×20=63000元……………5分

所以在該公司干10年，選擇第二方案比選擇第一方案多加薪：63000-55000=8000元

…………6分

（2）由題意：第n年（n∈N^*）選擇第二方案總比選擇第一方案加薪多，

則由等差數列前n項和公式: ……………9分

化簡得：

又當……11分

答：當時總是選擇第二方案比選擇第一方案多加薪。……………12分