Question

已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點，

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且與的兩個交點A和B滿足（其中0為原點），求k的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）有橢圓方程中讀出其長軸長，焦距長，根據題意得出雙曲線的長軸長，和焦距長，即可求出雙曲線方程。（2）因為直線l與兩曲線均有兩個不同交點，故聯立方程后整理出的一元二次方程均有兩根，即判別式均大于0，再根據向量數量積公式列出關于K 的不等式，三個不等式取交集。

試題解析：（1）設雙曲線的方程為，由橢圓的方程知，其長軸長為4，焦距長為，則由題意知雙曲線中，，所以，故的方程為。

（2）將代入，整理得，由直線與橢圓恒有兩個不同的交點得即，

將代入，整理得，由直線與雙曲線恒有兩個不同的交點得，解得。

解此不等式得

        ③

由①、②、③得

故k的取值范圍為

考點：圓錐曲線方程基礎知識，直線與圓錐曲線的位置關系，向量數量積公式