Question

（2012•江蘇）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a_n+1=

an+bn

an2+bn2

，n∈N^*，
（1）設(shè)b_n+1=1+

bn

an

，n∈N*，，求證：數(shù)列{(

bn

an

) 2}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n+1=

2

•

bn

an

，n∈N*，且{a_n}是等比數(shù)列，求a₁和b₁的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，a_n+1=

an+bn

an2+bn2

=

1+ bn an

1+( bn an )2

=

bn+1

1+( bn an )2

，從而可得

bn+1

an+1

=

1+( bn an )2

，可證
（2）由基本不等式可得，

(an+bn)2

2

≤ an2+bn2＜ (an+bn)2，由{a_n}是等比數(shù)列利用反證法可證明q=

2

a1

=1，進(jìn)而可求a₁，b₁

解答：解：（1）由題意可知，a_n+1=

an+bn

an2+bn2

=

1+ bn an

1+( bn an )2

=

bn+1

1+( bn an )2

∴

bn+1

an+1

=

1+( bn an )2

從而數(shù)列{(

bn

an

)2}是以1為公差的等差數(shù)列
（2）∵a_n＞0，b_n＞0
∴

(an+bn)2

2

≤ an2+bn2＜ (an+bn)2
從而1＜an+1=

an+bn

an2+bn2

≤

2

（*）
設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a_n＞0可知q＞0
下證q=1
若q＞1，則a1= 

a2

q

＜a2≤ 

2

，故當(dāng)n＞logq

2

a1

時(shí)，an+1=a1qn＞

2

與（*）矛盾
0＜q＜1，則a1=

a2

q

＞a2＞1，故當(dāng)n＞ logq

1

a1

時(shí)，an+1=a1qn＜1與（*）矛盾
綜上可得q=1，a_n=a₁，
所以，1＜a1≤

2

∵bn+1=

2

•

bn

an

=

2

a1

bn
∴數(shù)列{b_n}是公比

2

a1

的等比數(shù)列
若a1≠

2

，則

2

a1

＞1，于是b₁＜b₂＜b₃
又由a1=

a1+bn

a12+bn2

可得bn=

a1±a12 2-a12

a12-1

∴b₁，b₂，b₃至少有兩項(xiàng)相同，矛盾
∴a1=

2

，從而bn=

a1±a12 2-a12

a12-1

=

2

∴a1=b1=

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用構(gòu)造法證明等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是反證法的應(yīng)用．