Question

已知點O是△ABC所在平面內的一點，滿足

OA

•

OB

=

OB

•

OC

=

OC

•

OA

，則O是△ABC的（　　）

A．重點

B．外心

C．內心

D．垂心

Answer 1

分析：將等式

OA

•

OB

=

OB

•

OC

移項提公因式，結合減法法則化簡整理可得

OB

⊥

AC

，因此點O在AC邊上的高BE上．同理可得O點也在BC邊上的高AF和AB邊上的高CD上，由此即可得到本題答案．

解答：解：∵

OA

•

OB

=

OB

•

OC

，∴

OB

（

OC

-

OA

）=0
∵

OC

-

OA

=

AC

，
∴

OB

•

AC

=0，可得

OB

⊥

AC

因此，點O在AC邊上的高BE上，
同理可得：O點在BC邊上的高AF和AB邊上的高CD上
∴點O是△ABC三條高線的交點
因此，點O是△ABC的垂心
故選：D

點評：本題給出O點滿足的向量等式，求點O與△ABC的關系，著重考查了向量數量積的運算性質和三角形的垂心等知識，屬于基礎題．