Question

已知向量，，其中O為坐標原點，若||≥2||對任意的實數α，β都成立，則實數λ的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出A、B兩點的坐標，再求的坐標表示，代入已知的不等式進行化簡，最后利用三角函數的范圍求出λ的范圍．
解答：解：由題意知，A（λcosα，λsinα），B（-sinβ，cosβ），
∴=（λcosα+sinβ，λsinα-cosβ），∵||≥2||恒成立，
∴（λcosα+sinβ）（λcosα+sinβ）+（λsinα-cosβ）（λsinα-cosβ）≥4，
λ²+1+2λcosαsinβ-2λsinαcosβ≥4，
λ²+2λsin（β-α）-3≥0，
∵|sin（β-α）|≤1，∴λ²+2λ-3≥0且λ²-2λ-3≥0，
解得，λ≤-3或λ≥1 且λ≤-1或λ≥3
∴λ≤-3或λ≥3．
故答案為：（-∞，-3]∪[3，+∞）．
點評：本題考查了向量的坐標運算，包括求向量以及向量的長度，在化簡中用到了兩角和差的正弦公式及正弦值的范圍，來解決恒成立問題．