Question

已知曲線C：y=x²與直線l：x-y+2=0交于兩點A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區域（含邊界）為D．設點P（s，t）是L上的任一點，且點P與點A和點B均不重合，若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：欲求線段PQ的中點M的軌跡方程，先利用中點M的坐標反表示出P點的坐標，由點P在曲線C上，即求得到中點M的坐標的關系，從而解決問題．

解答：解：聯立y=x²與y=x+2得x_A=-1，x_B=2，
則AB中點Q(

1

2

，

5

2

)，
設線段PQ的中點M坐標為（x，y），
則x=

1 2 +s

2

，y=

5 2 +t

2

，
即s=2x-

1

2

，t=2y-

5

2

，又點P在曲線C上，
∴2y-

5

2

=(2x-

1

2

)2化簡可得y=2x2-x+

11

8

，
又點P是L上的任一點，且不與點A和點B重合，
則-1＜2x-

1

2

＜2，即-

1

4

＜x＜

5

4

，
∴中點M的軌跡方程為y=2x2-x+

11

8

（-

1

4

＜x＜

5

4

）．

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，參數法：求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標、縱坐標之間的關系，則可借助中間變量（參數），使x，y之間建立起聯系，然而再從所求式子中消去參數，得出動點的軌跡方程．