Question

在等差數列中，，，記數列的前項和為．
（1）求數列的通項公式；
（2）是否存在正整數、，且，使得、、成等比數列？若存在，求出所有符合條件的、的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在，且，.

解析試題分析：（1）將等差數列中的相應式子轉化為首項和公差的二元一次方程組，求出首項和公差，最后再利用等差數列的通項公式即可求出等差數列的通項公式；（2）先將數列的通項公式結構選擇裂項求和法求數列的前項和，然后根據條件列式，利用正整數的一些相關性質列不等式求出、的值.
試題解析：（1）設等差數列的公差為，
因為即                           2分
解得                                     3分
所以．
所以數列的通項公式為．                    4分
（2）因為，                  5分
所以數列的前項和


．                             7分
假設存在正整數、，且，使得、、成等比數列，
則．                                   8分
即．                              9分
所以．
因為，所以．
即．
因為，所以．
因為，所以．                             12分
此時．                            13分
所以存在滿足題意的正整數、，且只有一組解，即，．          14分
考點：等差數列的通項公式，裂項求和法，數列的存在性問題.