Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，AB=

3

，BC=4．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求直線AB與平面PDC所成角；
（3）設點E在棱PC、上，

PE

=λ

PC

，若DE∥面PAB，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）根據余弦定理求出DC的長，而BC²=DB²+DC²，根據勾股定理可得BD⊥DC，而PD⊥面ABCD，則BD⊥PD，PD∩CD=D，根據線面垂直判定定理可知BD⊥面PDC，而PC在面PDC內，根據線面垂直的性質可知BD⊥PC；
（2）在底面ABCD內過D作直線DF∥AB，交BC于F，分別以DA、DF、DP為x、y、z軸建立空間坐標系，根據（1）知BD⊥面PDC，則

DB

就是面PDC的法向量，設AB與面PDC所成角大小為θ，利用向量的夾角公式求出θ即可．
（3）先求出向量

PC

，

PE

，

DE

，

AB

，

PA

，設

n

=（x，y，z）為面PAB的法向量，根據

AB

•

n

=0，

PA

•

n

=0，求出

n

，再根據DE∥面PAB，則

DE

•

n

=0求出λ即可．

解答：解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=

3

，∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2

3

，（3分）
BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC內，∴BD⊥PC（5分）

（2）在底面ABCD內過D作直線DF∥AB，交BC于F，
分別以DA、DF、DP為x、y、z軸建立如圖空間坐標系，（6分）
由（1）知BD⊥面PDC，∴

DB

就是面PDC的法向量，（7分）
A（1，0，0），B（1，

3

，0），P（0，0，a）

AB

=（0，

3

，0），

DB

=（1，

3

，0），（8分）
設AB與面PDC所成角大小為θ，cosθ=

3

2 3

=

3

2

，（9分）
∵θ∈（0°，90°）∴θ=30°（10分）
（3）在（2）中的空間坐標系中A、（1，0，0），B、（1，

3

，0），P（0，0，a）C、（-3，

3

，0），（11分）

PC

=（-3，

3

，-a），

PE

=（-3λ，

3

λ，-aλ），

DE

=

DP

+

PE

=（0，0，a）+（-3λ，

3

λ，-aλ）=（-3λ，

3

λ，a-aλ）（12分）

AB

=（0，

3

，0），

PA

=（1，0，-a），
設

n

=（x，y，z）為面PAB的法向量，
由

AB

•

n

=0，
得y=0，由

PA

•

n

=0，得x-az=0，取x=a，z=1，

n

=（a，0，1），（14分）
由D、E∥面PAB得：

DE

⊥

n

，∴

DE

•

n

=0，-3aλ+a-aλ=0，∴λ=

1

4

（15分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質，以及直線與平面所成角和與二面角有關的立體幾何綜合題，屬于中檔題．