Question

18.已知拋物線C₁：y=x²+2x和C₂：y=－x²+a，如果直線l同時是C₁和C₂的切線，稱l是C₁和C₂的公切線.公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.

（Ⅰ）a取什么值時，C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

（Ⅱ）若C₁和C₂有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分.

Answer 1

18.

（Ⅰ）解：函數y=x²+2x的導數y′=2x+2.

曲線C₁在點P（x₁，x₁²+2x₁）的切線方程是

y－（x₁²+2x₁）=（2x₁+2）（x－x₁）.

即y=（2x₁+2）x－x₁²                                                       ①

函數y=－x²+a的導數y′=－2x，

曲線C₂在點Q（x₂，－x₂²+a）的切線方程是

y－（－x₂²+a）=－2x₂（x－x₂），

即y=－2x₂x+x₂²+a.                                ②

如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程，

所以

消去x₂得方程

2x₁²+2x₁+1+a=0.

 

若判別式Δ=4－4×2（1+a）=0時，即a=－時解得x₁=－.

此時點P與Q重合.

即當a=－時C₁和C₂有且僅有一條公切線.

由①得公切線方程為y=x－.

 

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，當a<－時C₁和C₂有兩條公切線.

 

設一條公切線上切點為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）.

 

其中P在C₁上，Q在C₂上，則有

x₁+x₂=－1，

y₁+y₂=x₁²+2x₁+（－x₂²+a）=x₁²+2x₁－（x₁+1）²+a=－1+a.

 

線段PQ的中點為（－，）.

同理，另一條公切線段P′Q′的中點也是（－，）.

所以公切線段PQ和P′Q′互相平分.