Question

已知函數.
（Ⅰ）若，求的取值范圍；
（Ⅱ）證明：.

Answer 1

（Ⅰ），           ………………2分
xf′（x）=xlnx+1，
題設xf′（x）≤x²+ax+1等價于lnx-x≤a，
令g（x）=lnx-x，則g’（x）=。        ………………4分
當0<x<1時，g’（x）>0；當x≥1時，g’（x）≤0，x=1是g（x）的最大值點，
g（x）≤g（1）=-1。        ………………6分
綜上，a的取值范圍是[-1,+∞）。         ………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；
當0<x<1時，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；………10分
當x≥1時，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）
=lnx+x（lnx+-1）≥0
所以（x-1）f（x）≥0   

略