【題目】已知橢圓
，離心率為
，直線
恒過
的一個焦點
.
（1）求的標準方程；
（2）設
為坐標原點，四邊形
的頂點均在上，
交于，且
，若直線
的傾斜角的余弦值為
，求直線
與
軸交點的坐標.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）將
轉化成直線點斜式方程形式，求出所過的恒點，進而知道橢圓的焦點，再根據橢圓的離心率公式進行求解即可.
（2）根據向量等式，可以確定
分別是
的中點.設
，求出直線
的方程，與橢圓方程聯立，消元，利用一元二次方程根與系數關系，求出
的坐標，同理求出
點坐標，求出直線
的方程，最后求出直線與
軸交點的坐標.
（1）設橢圓的半焦距為
，可化為
，所以直線恒過點
，所以點
，可得
.因為離心率為
，所以
，解得
，由
得
，所以
的標準方程為.
（2）因為
，所以
.由
得分別是的中點.設.由直線的傾斜角的余弦值為
，得直線的斜率為2，所以
，聯立
消去
，得
.顯然，
，且
， 
，所以
，可得
，同理可得
，所以
，所以
.令
，得
，所以直線與軸交點的坐標為.
發散思維新課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
件次品和
件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結束．
（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；
（2）已知每檢測一件產品需要費用
元，設
表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，四個頂點恰好構成了一個邊長為
且面積為
的菱形．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知直線
，
過右焦點F2，且它們的斜率乘積為
，設，分別與橢圓交于點
，
和
，
，
的中點為
，
的中點為
，求
面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在明代珠算發明之前，我們的先祖從春秋開始多是用算籌為工具來記數、列式和計算.算籌實際上是一根根相同長度的小木棍，如圖，是利用算籌表示數1~9的一種方法，例如：47可以表示為“
”，如果用算籌表示一個不含“0”且沒有重復數字的三位數，這個數至少要用8根小木棍的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是由兩個全等的菱形
和
組成的空間圖形，
，∠BAF＝∠ECD＝60°.
（1）求證：
；
（2）如果二面角B－EF－D的平面角為60°，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線
和點
，過點
作直線
分別交
于
，
兩點，
為線段
的中點，
為拋物線上的一個動點.
（1）當
時，過點
作直線
交于另一點
，
為線段
的中點，設，的縱坐標分別為
，
.求
的最小值；
（2）證明：存在
的值，使得
恒成立.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某公園有三條觀光大道
圍成直角三角形，其中直角邊
，斜邊
.現有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，
（1）若甲、乙都以每分鐘100
的速度從點
出發在各自的大道上奔走，乙比甲遲2分鐘出發，當乙出發1分鐘后到達
，甲到達
，求此時甲、乙兩人之間的距離；
（2）甲、乙、丙所在位置分別記為點
.設
，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且
，請將甲、乙之間的距離
表示為
的函數，并求甲、乙之間的最小距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公園有一塊邊長為3百米的正三角形
空地，擬將它分割成面積相等的三個區域，用來種植三種花卉.方案是：先建造一條直道
將
分成面積之比為
的兩部分（點D，E分別在邊
，
上）；再取的中點M，建造直道
（如圖）.設
，
，
（單位：百米）.
（1）分別求
，
關于x的函數關系式；
（2）試確定點D的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.
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