Question

已知F（x）=mf（x）+ng（x）+x+2對任意x∈（0，+∞）都有F（x）≤F（2）=8，且f（x）與g（x）都是奇函數，則在（-∞，0）上F（x）有

1. A.
   最大值8
2. B.
   最小值-8
3. C.
   最大值-10
4. D.
   最小值-4

Answer 1

D
分析：令G（x）=mf（x）+ng（x）+x，易知G（x）為奇函數，其圖象關于原點對稱，由題意可得F（x）在（0，+∞）的最大值，從而可求得G（x）的最大值，根據對稱性進而可得其在（-∞，0）
上的最小值，通過F（x）與G（x）圖象關系即可求得F（x）的最小值．
解答：令G（x）=mf（x）+ng（x）+x，
因為f（x），x與g（x）都是奇函數，所以G（x）是奇函數，則G（x）的圖象關于原點對稱．
當x∈（0，+∞）時都有F（x）≤F（2）=8，即F（x）有最大值8，則G（x）有最大值6，
所以在x∈（-∞，0）時G（x）有最小值-6，
而F（x）=mf（x）+ng（x）+x+2的圖象是由G（x）的圖象向上平移2個單位得到，
所以F（x）在（-∞，0）有最小值-6+2=-4，
故選D．
點評：本題考查抽象函數的奇偶性及其最值求法，考查奇偶函數的圖象特征，考查數形結合思想，屬中檔題．