Question

通過(guò)實(shí)驗(yàn)知道如果物體的初始溫度是θ₁℃，環(huán)境溫度是θ₀℃，則經(jīng)過(guò)時(shí)間t分鐘后，物體溫度θ將滿足：θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt
，其中k為正常數(shù)．
已知一杯開水（100℃）在室溫為20℃的環(huán)境下經(jīng)過(guò)30分鐘后溫度會(huì)降至30℃．
（1）若當(dāng)前室溫為16℃，從冰柜中拿出的溫度為-4℃的冰塊，經(jīng)過(guò)5分鐘之后，能否融化？（即溫度達(dá)到0℃以上，參考數(shù)據(jù)：

2

≈1.414）
（2）在室溫為-4℃的環(huán)境下，12℃的水經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間可以結(jié)冰？-20℃的冰能否融化？（即變?yōu)?℃，請(qǐng)依據(jù)本題的原理解釋）
（3）探究：同樣多的一杯開水和一杯冷水一同放進(jìn)冰箱，哪個(gè)先結(jié)冰？請(qǐng)猜想答案，有條件的在考后抽空做實(shí)驗(yàn)并上網(wǎng)查閱相關(guān)資料．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，先將題目中的條件代入公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt，求解就可得到k的值．
（1）再利用公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt，當(dāng)前室溫為16℃，代入就可解出此時(shí)在室溫為20℃的環(huán)境下經(jīng)過(guò)30分鐘后溫度會(huì)降至30℃．
（2）利用公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt，計(jì)算12℃的水結(jié)冰時(shí)間，及-20℃的冰融化時(shí)間t₂不存在從而得出-20℃的冰在-4℃的條件下不可能融化；
（3）開水先結(jié)冰（詳見“姆潘巴的問(wèn)題”）．

解答：解：依題意開水（100℃）在室溫20℃的環(huán)境下，經(jīng)過(guò)30分鐘后溫度降至30℃．
故30=20+（100-20）•2^-k•30⇒k=

1

10

（2分） 
∴θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2-

t

10

…（3分）
（1）θ=16+（-4-16）•2-

5

10

=16-20×

2

2

≈1.86℃＞0℃…（6分）     
∴5分鐘之后，這個(gè)冰塊能融化．…（7分）
（2）12℃的水結(jié)冰：0=-4+（12-（-4））•2-

t1

10

⇒t₁=20分鐘…（9分）
-20℃的冰融化：0=-（-20-（-4））•2-

t2

10

：⇒t₂不存在（11分）
∴-20℃的冰在-4℃的條件下不可能融化．…（12分）    
（3）開水先結(jié)冰（詳見“姆潘巴的問(wèn)題”）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)的綜合題，通過(guò)研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解釋實(shí)際問(wèn)題．我們要掌握底數(shù) 兩種基本情況下函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性和值域的差別，它能幫我們解釋具體問(wèn)題．