Question

21.已知函數f（x）＝a·b^x的圖象過點A（4，）和B（5，1）.

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）記a_n＝log₂f（n），n是正整數，S_n是數列｛a_n｝的前n項和，解關于n的不等式a_nS_n≤0；

（3）對于（2）中的a_n與S_n，整數10⁴是否為數列｛a_nS_n｝中的項？若是，則求出相應的項數；若不是，則說明理由.

Answer 1

21.

［解］（1）由＝a·b⁴，1＝a·b⁵，得b＝4，a＝，故f（x）＝4^x.

 

（2）由題意a_n＝log₂（·4ⁿ）＝2n－10，

 

S_n＝（a₁＋a_n）＝n（n－9），

a_nS_n＝2n（n－5）（n－9）.

由a_nS_n≤0，得（n－5）（n－9）≤0，即5≤n≤9.

故n＝5，6，7，8，9.

 

（3）a₁S₁＝64，a₂S₂＝84，a₃S₃＝72，a₄S₄＝40.

當5≤n≤9時，a_nS_n≤0.

當10≤n≤22時，a_nS_n≤a₂₂S₂₂＝9724＜10⁴.

當n≥23時，a_nS_n≥a₂₃S₂₃＝11592＞10⁴.

因此，10⁴不是數列{a_nS_n}中的項.