【題目】自2017年起，全國各省市陸續實施了新高考，許多省市采用了“
”的選科模式，即：考生除必考的語數外三科外，再從物理化學生物歷史地理政治六個學科中，任意選取三科參加高考，為了調查新高考中考生的選科情況，某地調查小組對某中學進行了一次調查，研究考生選擇化學與選擇物理是否有關．已知在調查數據中，選物理的考生與不選物理的考生人數相同，其中選物理且選化學的人數占選物理人數的
，在不選物理的考生中，選化學與不選化學的人數比為
．
（1）若在此次調查中，選物理未選化學的考生有100人，將選物理且選化學的人數占選化學總人數的比作為概率，從該中學選化學的考生中隨機抽取4人，記這4人中選物理且選擇化學的考生人數為
，求的分布列(用排列數組合數表示即可)和數學期望．
（2）若研究得到在犯錯誤概率不超過0．01的前提下，認為選化學與選物理有關，則選物理且選化學的人數至少有多少？(單位：百人，精確到0．01)
附：
，其中
．
| 0．100 | 0．050 | 0．010 | 0．001 |
| 2．706 | 3．841 | 6．635 | 10．828 |
【答案】（1）分布列見解析，數學期望為
．（2）至少537人．
【解析】
（1）分別計算出選物理且選化學和選化學不選物理的人數，利用超幾何分布的性質即可得分布列和期望，即可得解；
（2）設選物理又選化學的人數為
，列出聯表，計算出
，令
解不等式即可得解.
（1）由題意列聯表如圖：
選化學 | 不選化學 | 合計(人數) | |
選物理 | 400 | 100 | 500 |
不選物理 | 50 | 450 | 500 |
合計(人數) | 450 | 550 | 1000 |
所以
，
，
，
，
，
則分布列為
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
|
|
|
|
由題意選物理且選化學的人數占選化學總人數的比為
，且
符合超幾何分布，
所以
．
（2）設選物理又選化學的人數為，則列聯表如下：
選化學 | 不選化學 | 合計(人數) | |
選物理 |
|
|
|
不選物理 |
|
|
|
合計(人數) |
|
|
|
所以：
．
在犯錯誤概率不超過0.01的前提下，則，即
，
即：
．
所以選物理又選化學的人數至少有5.37(百人)，即至少537人．
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【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；
（2）射線
的極坐標方程為
，若射線與曲線的交點為
，與直線的交點為
，求線段
的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于正整數
，如果
個整數
滿足
，
且
，則稱數組
為的一個“正整數分拆”.記均為偶數的“正整數分拆”的個數為
均為奇數的“正整數分拆”的個數為
.
(Ⅰ)寫出整數4的所有“正整數分拆”;
(Ⅱ)對于給定的整數
，設是的一個“正整數分拆”，且
，求
的最大值;
(Ⅲ)對所有的正整數，證明:
;并求出使得等號成立的的值.
(注:對于的兩個“正整數分拆”與
，當且僅當
且
時，稱這兩個“正整數分拆”是相同的.)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】關于曲線
，給出下列三個結論：
① 曲線
關于原點對稱，但不關于
軸、
軸對稱；
② 曲線恰好經過4個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；
③ 曲線上任意一點到原點的距離都不大于
.
其中，正確結論的序號是________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了了解一個智力游戲是否與性別有關，從某地區抽取男女游戲玩家各200請客，其中游戲水平分為高級和非高級兩種．
（1）根據題意完善下列
列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%以上的把握認為智力游戲水平高低與性別有關？
性別 | 高級 | 非高級 | 合計 |
女 | 40 | ||
男 | 140 | ||
合計 |
（2）按照性別用分層抽樣的方法從這些人中抽取10人，從這10人中抽取3人作為游戲參賽選手；
若甲入選了10人名單，求甲成為參賽選手的概率；
設抽取的3名選手中女生的人數為
，求的分布列和期望．
附表：
，其中
．
| 0.010 | 0.05 | 0.001 |
| 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，得到甲、乙兩位學生成績的莖葉圖.
（1）現要從中選派一人參加數學競賽，對預賽成績的平均值和方差進行分析，你認為哪位學生的成績更穩定？請說明理由；
（2）若將頻率視為概率，求乙同學在一次數學競賽中成績高于84分的概率；
（3）求在甲同學的8次預賽成績中，從不小于80分的成績中隨機抽取2個成績，列出所有結果，并求抽出的2個成績均大于85分的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年國際籃聯籃球世界杯將于2019年8月31日至9月15日在中國的北京、廣州、南京、上海、武漢、深圳、佛山、東莞八座城市舉行.為了宣傳國際籃聯籃球世界杯，某大學從全校學生中隨機抽取了120名學生，對是否會收看該國際籃聯籃球世界杯賽事的情況進行了問卷調查，統計數據如下：
會收看 | 不會收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
（1）根據上表說明，能否有99%的把握認為是否會收看該國際籃聯籃球世界杯賽事與性別有關？
（2）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為
與
，且乙投球3次均未命中的概率為
.
（i）求乙投球的命中率；
（ii）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數記為
，求的分布列和數學期望.
附：
，其中
，
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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