Question

(湖南長郡中學模擬)如下圖，以、為焦點的雙曲線E與半徑為c的圓O相交于C、D、、，連接與OB交于點H，且有，其中，，B是圓O與坐標軸的交點，c為雙曲線的半焦距．

(1)當c=1時，求雙曲線E的方程；

(2)試證：對任意正實數c，雙曲線E的離心率為常數；

(3)連接，與雙曲線E交于點F，是否存在實數λ，使恒成立?若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由c=1知B(0，1)， ，即，點C在單位圓上，． 設雙曲線E的方程為 ． 由點C在雙曲線E上，半焦距c=1有解得 所以雙曲線E的方程為 ．　　　　(3分) (2)證明：， 由，得， ；設雙曲線E的方程為 ． ①代入②，化簡整理得 ， ， 解得． 又． ，即雙曲線E的離心率是與c無關的常數．　　　　(8分) (3)假設存在實數λ，使恒成立，． 有，點，故有 由③得　　　⑤ 將⑤代入④得， 化簡整理得， 即，利用(2)小題的結論得． 故存在實數，使恒成立．　　　　(13分)