Question

如圖直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A（8，0）、B（0，6）兩點，P為直線l上異于A、B兩點之間的一動點．且PQ∥OA交OB于點Q．
（1）若△PBQ和四邊形OQPA的面積滿足S_四OQPA=3S_△PBQ時，請你確定P點在AB上的位置，并求出線段PQ的長；
（2）在x軸上是否存在點M，使△MPQ為等腰直角三角形，若存在，求出點M與P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由△PBQ和四邊形OQPA的面積滿足S_四OQPA=3S_△PBQ，可得S_△BOA=4S_△PBQ，進而根據S_△BOA∽S_△PBQ，可得到兩個三角形的相似比，進而得到線段PQ的長；
（2）若△MPQ為等腰直角三角形，則O，P，M三點均有可能為直角頂點，分析討論后，綜合討論結果，可得答案．

解答：解：（1）∵S_四OQPA=3S_△PBQ，
∴S_△BOA=4S_△PBQ，
又∵PQ∥OA
∴S_△BOA∽S_△PBQ，
根據相似三角形面積比等于相似比的平方，
可得S_△BOA與S_△PBQ的相似比為1：2
故

PQ

OA

=

1

2

即PQ=

1

2

OA=4
（2）由（1）可知直線l的方程為3x+4y=24…（*）

①若△MPQ為等腰直角三角形，Q為直角頂點
則此時M點與原點重合，設Q點坐標為（0，a），則P點坐標為（a，a）
將P點坐標代入*得a=

24

7

即M，P的坐標分別為（0，0）（

24

7

，

24

7

）
②若△MPQ為等腰直角三角形，P為直角頂點
設Q點坐標為（0，a），則P點坐標為（a，a），M點坐標為（a，0）
將P點坐標代入*得a=

24

7

即M，P的坐標分別為（

24

7

，0）（

24

7

，

24

7

）
③若△MPQ為等腰直角三角形，M為直角頂點
則|OM|=|OQ|=

1

2

|PQ|
設Q（0，a），則M（a，0），點P坐標為（2a，a）
將P點坐標代入（*）式 得a=

12

5

．
∴點M、P的坐標分別為（

12

5

，0），（

24

5

，

12

5

）

點評：本題考查的知識點是相似三角形的判定與性質，直線方程與直線的交點，其中（2）中要注意O，P，M三點均有可能為直角頂點，要分類討論．