Question

已知函數，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導數，把a=2代入可得，f'（1）=-2，由點斜式可寫直線的方程，化為一般式即可；
（Ⅱ）由△=8a，分a≤0，當a＞0兩大類來判斷，其中當a＞0時，又需分0＜a≤2，2＜a＜8，a≥8，三種情形來判斷，綜合可得答案．
解答：（Ⅰ）解：f（x）的定義域為R，且 f'（x）=2x²-4x+2-a，當a=2時，，f'（1）=-2，
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為 ，即 6x+3y-5=0．（4分）
（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判別式為△=（-4）²-4×2×（2-a）=8a．
（ⅰ）當a≤0時，f'（x）≥0，所以f（x）在區(qū)間（2，3）上單調遞增，所以f（x）在區(qū)間[2，3]
上的最小值是；最大值是f（3）=7-3a．
（ⅱ）當a＞0時，令f'（x）=0，得 ，或．f（x）和f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗		↘		↗

故f（x）的單調增區(qū)間為，；單調減區(qū)間為．
①當0＜a≤2時，x₂≤2，此時f（x）在區(qū)間（2，3）上單調遞增，所以f（x）在區(qū)間[2，3]
上的最小值是；最大值是f（3）=7-3a．
②當2＜a＜8時，x₁＜2＜x₂＜3，此時f（x）在區(qū)間（2，x₂）上單調遞減，在區(qū)間（x₂，3）上單調遞增，
所以f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是 ．
因為 ，
所以 當時，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值是f（3）=7-3a；當時，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值是．
③當a≥8時，x₁＜2＜3≤x₂，此時f（x）在區(qū)間（2，3）上單調遞減，
所以f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是f（3）=7-3a；最大值是．
綜上可得，
當a≤2時，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是，最大值是7-3a；
當時，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是，最大值是7-3a；
當時，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是，最大值是；
當a≥8時，f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值是7-3a，最大值是．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性和最值問題，涉及切線方程問題，屬中檔題．