Question

一個函數f（x），如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在f（x）的定義域內，就有f（a），f（b），f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱f（x）為“保三角形函數”．
（Ⅰ）判斷f1(x)=

x

，f₂（x）=x，f₃（x）=x²中，哪些是“保三角形函數”，哪些不是，并說明理由；
（Ⅱ）如果g（x）是定義在R上的周期函數，且值域為（0，+∞），證明g（x）不是“保三角形函數”；
（Ⅲ）若函數F（x）=sinx，x∈（0，A）是“保三角形函數”，求A的最大值．
（可以利用公式sinx+siny=2sin

x+y

2

cos

x-y

2

）

Answer 1

分析：（1）任給三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設a≤c，b≤c，我們判斷f（a），f（b），f（c）是否滿足任意兩數之和大于第三個數，即任意兩邊之和大于第三邊（2）要想一個函數不是“保三角形函數”關鍵是根據題中條件g（x）是定義在R上的周期函數，且值域為（0，+∞），舉出反例．（3）則是要利用“保三角形函數”的概念，求A的最值，觀察到Sinx的最大值為1，且Sin

5π

6

=

1

2

，故可猜想

5π

6

可能為分類討論的分類標準，所以解答過程可通過對x與

5π

6

的關系進行分類討論，最后給出結論．

解答：解：（I）f₁（x），f₂（x）是“保三角形函數”，f₃（x）不是“保三角形函數”．
任給三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設a≤c，b≤c，
由于

a

+

b

＞

a+b

＞

c

＞0，所以f₁（x），f₂（x）是“保三角形函數”．
對于f₃（x），3，3，5可作為一個三角形的三邊長，但3²+3²＜5²，
所以不存在三角形以3²，3²，5²為三邊長，故f₃（x）不是“保三角形函數”．
（II）設T＞0為g（x）的一個周期，由于其值域為（0，+∞），
所以，存在n＞m＞0，使得g（m）=1，g（n）=2，
取正整數λ＞

n-m

T

，可知λT+m，λT+m，n這三個數可作為一個三角形的三邊長，
但g（λT+m）=1，g（λT+m）=1，g（n）=2不能作為任何一個三角形的三邊長．
故g（x）不是“保三角形函數”．
（III）A的最大值為

5π

6

①若A＞

5π

6

，
取

π

2

，

5π

6

，

5π

6

∈(0，A)，顯然這三個數可作為一個三角形的三邊長，
但sin

π

2

=1，sin

5π

6

=

1

2

，sin

5π

6

=

1

2

不能作為任何一個三角形的三邊長，
故F（x）不是“保三角形函數”．
②當A=

5π

6

時，對任意三角形的三邊a，b，c，若a，b，c∈(0，

5π

6

)，則分類討論如下：
（1）a+b+c≥2π，
此時a≥2π-b-c＞2π-

5π

6

-

5π

6

=

π

3

，同理，b，c＞

π

3

，
∴a，b，c∈(

π

3

，

5π

6

)，故sina，sinb，sinc∈(

1

2

，1]，sina+sinb＞

1

2

+

1

2

=1≥sinc．
同理可證其余兩式．
∴sina，sinb，sinc可作為某個三角形的三邊長．
（2）a+b+c＜2π
此時，

a+b

2

+

c

2

＜π，可得如下兩種情況：

a+b

2

≤

π

2

時，由于a+b＞c，所以，0＜

c

2

＜

a+b

2

≤

π

2

．
由sinx在(0，

π

2

]上的單調性可得0＜sin

c

2

＜sin

a+b

2

≤1；

a+b

2

＞

π

2

時，0＜

c

2

＜π-

a+b

2

＜

π

2

，
同樣，由sinx在(0，

π

2

)上的單調性可得0＜sin

c

2

＜sin

a+b

2

＜1；
總之，0＜sin

c

2

＜sin

a+b

2

≤1．
又由|a-b|＜c＜

5π

6

及余弦函數在（0，π）上單調遞減，
得cos

a-b

2

=cos

|a-b|

2

＞cos

c

2

＞cos

5π

12

＞0，
∴sina+sinb=2sin

a+b

2

cos

a-b

2

＞2sin

c

2

cos

c

2

=sinc．
同理可證其余兩式，所以sina，sinb，sinc也是某個三角形的三邊長．
故A=

5π

6

時，F（x）是“保三角形函數”．
綜上，A的最大值為

5π

6

．

點評：演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結論的三段論推理．三段論推理的依據用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質P．要想判斷f（x）為“保三角形函數”，要經過嚴密的論證說明f（x）滿足“保三角形函數”的概念，但要判斷f（x）不為“保三角形函數”，僅須要舉出一個反例即可．