Question

如圖，在半徑為l的球O中．AB、CD是兩條互相垂直的直徑，半徑OP⊥平面ACBD．點E、F分別為大圓上的劣弧

BP

、

AC

的中點，給出下列結論：
①E、F兩點的球面距離為

2

3

π；
②向量

.

OE

在向量

.

OB

方向上的投影恰為

1

2

；
③若點M為大圓上的劣弧

AD

的中點，則過點M且與直線EF、PC成等角的直線有無數條；
④球面上到E、F兩點等距離的點的軌跡是兩個點；
其中你認為正確的所有結論的序號為

 

．

Answer 1

分析：先建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出坐標E（0，

2

2

，

2

2

），F（

2

2

，-

2

2

，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）再一一驗證即可．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則E（0，

2

2

，

2

2

），F（

2

2

，-

2

2

，0）B（0，1，0），P（0，0，1）C（1，0，0）①cos∠EOF=cos∠EOBcos∠COB=cos45°cos（90°+45°）=-

2

2

×

2

2

=-

1

2

∴∠EOF=

2π

3

，對；
②向量

OE

在向量

OB

方向上的投影為

2

2

，錯；
③由于等角的值不是一定值，因此將直線EF、PC都平移到點M，可知過點M且與直線EF、PC成等角的直線有無數多條，對；
④過點EF的中點及球心O的大圓上任意點到點E、F的距離都相等，錯；
故答案為①③

點評：本題主要考查了球的性質、球面距離及相關計算，解答的關鍵是建立適當的空間坐標系寫出點的坐標后利用空間坐標進行計算．