Question

若∠B=60°，O為△ABC的外心，點(diǎn)P在△ABC所在的平面上，=++，且•=8，則邊AC上的高h(yuǎn)的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，得點(diǎn)P是△ABC的垂心，從而•=0，將•化簡(jiǎn)為•=8，結(jié)合∠B=60°算出•和三角形ABC的面積．利用余弦定理，算出當(dāng)且僅當(dāng)==4時(shí)，有最小值為4，結(jié)合三角形面積為4，可得AC上的高h(yuǎn)的最大值為2．
解答：解：∵O為△ABC的外心，=++，
∴點(diǎn)P是△ABC的垂心，即P是三條高線的交點(diǎn)
∴•=（+）=8
∵•=0，∴•=8
∵∠B=60°，∴•cos60°=8，得•=16
根據(jù)正弦定理的面積公式，得S_△ABC=•sin60°=4
∵=+-2•cos60°=+-16
+≥2•=32
∴≥16，得當(dāng)且僅當(dāng)==4時(shí)，有最小值為4
∵S_△ABC=•h=4，h是邊AC上的高
∴h≤=2，當(dāng)且僅當(dāng)===4時(shí)，邊AC上的高h(yuǎn)的最大值為2
故答案為：2
點(diǎn)評(píng)：本題在△ABC中，已知一個(gè)角和兩邊長(zhǎng)度之積，求另一邊上高的最大值，著重考查了三角形外心與垂直的聯(lián)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和正余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．