Question

已知橢圓M的中心為坐標原點，且焦點在x軸上，若M的一個頂點恰好是拋物線y²=8x的焦點，M的離心率e=

1

2

，過M的右焦點F作不與坐標軸垂直的直線l，交M于A，B兩點．
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）設點N（t，0）是一個動點，且(

NA

+

NB

)⊥

AB

，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）∵拋物線y²=8x的焦點F（2，0）
∴a=2
∵e=

c

a

=

1

2

∴c=1
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓M的標準方程：

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設l：x=my+1（m∈R，m≠0）
聯立方程

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

可得（3m²+4）y²+6my-9=0
由韋達定理得y1+y2=-

6m

3m2+4

①（6分）
∵(

NA

+

NB

)⊥

AB

∴|NA|=|NB|
∴(x1-t)2+y12=(x2-t)2+y22
∴(x1-x2)(x1+x2-2t)+(y12-y22)=0
將x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入上式整理得：(y1-y2)[(m2+1)(y1+y2)+m(2-2t)]=0，
由y₁≠y₂知（m²+1）（y₁+y₂）+m（2-2t）=0，將①代入得t=

1

3m2+4

（10分）
所以實數t∈(0，

1

4

)（12分）